Mari kita belajar tentang materi persamaan garis lurus, gradien, dan bagaimana menentukan apakah dua garis lurus itu tegak lurus atau kita kali ini dimulai dari yang dasar berupa penjabaran materi yang berisi rumus, contoh soal dan jawaban persamaan garis tegak lurus, lalu dilanjutkan dengan latihan soal untuk dikerjakan di kita mulai belajar bersama!1. Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Tegak Lurus, Sejajar, Melalui Titik, dan Diagram KartesiusSebelum kita membahas lebih jauh , terlebih dulu kakak berikan gambaran garis besar materi dalam daftar isi di bawah ini yang di dalamnya juga terdapat pengertian persamaan garis lurus dan juga contoh soal persamaan garis lurus SMP kelas 8 dan SMA kelas Persamaan garis lurus dan rumus gradienPada bagian awal ini kak hinda akan menerangkan apa itu gradien dan bagaimana bentuk persamaannya serta jenis dan contoh Pengertian gradienGradien adalah kemiringan gradien dilambangkan dengan Persamaan Gradien dalam garis lurusBentuk umum dari persamaan garis lurus adalahy = mx + cYang mana m merupakan gradien,x dan y adalah variabel, danc adalah teman-teman menjumpai persamaan yang berbentukax + by + c = 0,maka cara mencari gradien nya adalahby = – ax – cy = - ax – c by = - a/bx – c/bJadi, rumus gradien nya adalahm = -a/bc. Macam-macam gradienAda beberapa macam / nilai gradien yang perlu teman-teman tahu, di antaranyaGradien bernilai negatifContoh soal gradien negatifDiketahui sebuah persamaan garis lurus 4y + 2x – 8 = 0. Tentukan gradiennya!Jawabm = -a/b = -2/4 = – ½Jadi, gradiennya bernilai bernilai positifContoh persamaan garis lurusDiketahui sebuah persamaan 3x – 2y + 6 = 0. Tentukan gradiennya!JawabanRumus gradien m = -a/bSehingga -3/-2 = 3/2Gradien yang melalui titik 0,0 atau pangkal koordinatJika sebuah garis lurus melalui titik pangkal, maka nilai gradiennya bisa dicari dengan caram = y/xContoh latihan soal gradienDiketahui sebuah garis melalui pangkal koordinat dan titik 1,3. Berapakah gradiennya?Pembahasanm= y/x = 3/1 = 3Gradien garis yang melalui dua titik x1, y1 dan x2, y2Teman-teman bisa mencari gradien dari sebuah garis lurus hanya dengan mengetahui dua titik yang sebuah garis lurus melalui titik A x1, y1 dan B x2, y2. Maka gradiennya dirumuskan sebagaim = [y2 – y1] [x2 – x1]ContohDiketahui sebuah garis lurus melalui titik 2, 3 dan 1, -4. Berapakah gradiennya?Jawabm = [y2 – y1] [x2 – x1]m = -4 – 3 1 – 2m = -7 -1m = 73. Persamaan garis lurus yang sejajarSilakan lihat gambar kartesius berikut untuk melihat ilustrasi dua buah garis lurus g dan h yang sejajar. Dari gambar di atas kita bisa melihat dua buah garis lurus yang sejajar. Sepanjang apapun garisnya, keduanya tidak akan logika, dua persamaan garis lurus yang sejajar akan memiliki kemiringan garis yang sama. Dengan kata lain, kemiringan atau gradien dari dua garis tersebut adalah sama besar. Dan dituliskan sebagai berikut;Misal y1 = m1x + c1 merupakan persamaan pertama dan y2 = m2x + c2 adalah persamaan kedua. Maka ketika dua garis ini sejajar berlaku;m1 = m2Artinya, gradien pada persamaan garis lurus pertama sama nilainya dengan gradien pada persamaan Contoh soal persamaan garis sejajarSebuah garis lurus memiliki persamaan 6y + 3x – 8 = 0. Tentukan gradien garis yang sejajar dengan persamaan tersebut!b. JawabannyaGaris lurus pertama 6y + 3x – 8 = 0a = 3, b = 6. Jadi;m1 = – a / b = – 3/6 = – ½Syarat gradien garis yang sejajar adalah m1 = m2 = – ½Jadi, gradien garis yang sejajar dengan garis 6y + 3x – 8 = 0 adalah m2 = – ½4. Persamaan garis lurus yang tegak lurusPerhatikan gambar berikut!Gambar di atas menunjukkan diagram kartesius dari dua buah garis lurus k dan l yang tegak lurus satu sama perlu digarisbawahi dalam materi ini adalah bahwa gradien dari dua garis lurus yang saling tegak lurus jika dikalikan akan menghasilkan angka matematika ditulis, misalnya;y1 = m1x + c1dany2 = m2x + c2adalah dua persamaan garis lurus yang saling tegak lurus, maka berlaku;m1 . m2 = -1atau dengan kata lain rumus gradien tegak lurus adalah;m1 = -1/m2ataum2 = -1/m1a. Contoh soal persamaan garis tegak lurusDiketahui sebuah persamaan garis lurus berikut2x + y – 6 = 0Tentukan gradien garis yang tegak lurus dengan garis Penyelesaiannya2x + y – 6 = 0a = 2, b = 1, c = -6m1 = – a/b = -2/1 = -2Gradien garis yang tegak lurus dengan gradien tersebut adalah m1 * m2 = -1m2 = -1/m1m2 = -1/-2m2 = ½Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengan garis 2x + y – 6 = 0 adalah Persamaan Garis Lurus Melalui 1 TitikIngat, bahwa bentuk persamaan garis lurus secara umum adalah;y = mx + cdengan m adalah gradien atau menentukan persamaannya, maka digunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui satu titik x1, y1;y – y1 = m x – x1a. Contoh SoalTentukan persamaan garis yang melalui titik 4,3 dengan gradien sebesar PembahasanCara 1 Pakai rumus umumDiketahui titiknya adalah x1, y1 —-> 4,3, dengan demikian nilai x1 = 4 dan y1 = 3, maka langkah selanjutnya adalah substitusi nilai m dan nilai x1, y1 ke dalam rumus;y – y1 = m x – x1y – 3 = 2 x – 4y – 3 = 2x – 8y = 2x – 8 + 3 pindah ruas, negatif menjadi positify = 2x – 5Jadi, persamaannya adalah y = 2x – 5Cara 2 pakai rumus cara cepatMencari nilai c dari persamaan umum garis lurus, yakni;y = mx + cSubstitusi nilai gradien 2 dan nilai 4, 3 ke dalam persamaan di atas;3 = 2. 4 + c3 = 8 + cc = 3 – 8c = – 5Kemudian, dimasukkan atau disubstitusikan ke persamaan umum garis lurus, menjadi;y = mx + cy = 2x – 5Jadi, persamaannya adalah y = 2x – 56. Persamaan Garis Lurus Melalui 2 TitikRumus persamaan garis melalui 2 titik x1, y1 dan x2, y2 adalaha. Contoh soalTentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik 2, -4 dan 1, 4!b. JawabanDiketahui x1 = 2, y1 = -4, x2 = 1, y2 = 4Jadi, persamaan garisnya adalah y = -8x + 127. Contoh soal persamaan garis lurus dan jawabannyaBerikut adalah beberapa contoh soal yang bisa teman-teman pakai belajar di rumaha. Contoh Soal 1Carilah persamaan garis yang sejajar dengan persamaan garis lurus y = 2x – 3 dan melalui titik 4,3.Jawaban dan penyelesaianDiketahui, persamaan garis lurus pertama adalah y = 2x – 3Di mana y1 = m1x + c1 maka y = 2x – 3, yang artinya m1= garisnya sejajar, maka m1 = m2 = nilai m2 = 2 di atas pada persamaan y = mx + c. Substitusikan juga nilai x dan y yang dilalui oleh garis = mx + c3 = + c3 = 8 + cc = 3 – 8c = -5Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y = 2x – 3 adalah y = 2x – Contoh Soal 2Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik -2, 5!Jawaban dan penyelesaianLangkah pertama, ubah dulu persamaan 2x + 3y + 6 = 0 dalam bentuk persamaan umum, menjadi;2x + 3y + 6 = 03y = -2x – 6y = -2/3 x – 2Dengan begini, nilai m1 = -2/3Atau cari nilai m1 memakai rumus m1 = -a/b dari persamaan2x + 3y + 6 = 0 —> ax + by + c = 0m1 = -2/3Kemudian, m1 = m2 = -2/3 karena sejajar, substitusikan pada persamaan berikut titik yang dilalui oleh garis tersebut;y = mx + c5 = -2/3 . -2 + c5 = 4/3 + cc = 5 – 4/3c = 11/3Substitusi ke persamaan umum lagi;y = mx + cy = -2/3x + 11/3 dikalikan 3 semua3y = -2x + 112x + 3y – 11 = 0Jadi, persamaan garis yang sejajar dengan 2x + 3y + 6 = 0 adalah 2x + 3y – 11 = Contoh Soal 3Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y – 2x + 3 = 0 dan melalui titik 4,3!Jawaban dan penyelesaianKita perlu mengubah dulu persamaannya dalam bentuk umum y = mx + c, yakni;y – 2x + 3 = 0y = 2x – 3Dari persamaan ini, dapat diketahui bahwa gradien garisnya adalah 2, ditulis m1 = kita bisa mencari nilai m1 dari rumus -a/ adalah y – 2x + 3 = 0 —-> ax + by + c = 0Sehingga a = -2, b = 1, dan c = = -a/b = – -2/1 = 2Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1 atau m2 = – ½Selanjutnya, teman-teman bisa menyubstitusi nilai m2 yang sudah diperoleh dan koordinat titik 4,3 ke dalam persamaan y = mx + c menjadi;3 = – ½ .4 + cc = 3 + 2c = 5Persamaan kedua dapat dicari dengan cara substitusi;y = mx + cy = – ½ x + 5Jadi, persamaan garis lurus yang tegak lurus terhadap garis y = 2x – 3 adalahy = – ½ x + Contoh Soal 4Sejajar atau tegak luruskah garis y – 3x + 4 = 0 dan y – 3x – 2 = 0?Jawaban dan penyelesaianPersamaan 1;y – 3x + 4 = 0y = 3x – 4m1 = 3Persamaan 2;y – 3x – 2 = 0y = 3x + 2m2 = 3Jadi, dua garis tersebut sejajar, karena m1 = m2 = 3e. Contoh Soal 5Sejajar ataukah tegak lurus persamaan garis lurus 3x – y = 5 dan –x – 3y = 6 ?Jawaban dan penyelesaianPersamaan pertama;3x – y = 5-y = -3x + 5 kalikan dengan -1y = 3x – 5m1 = 3Persamaan kedua;–x – 3y = 6-3y = x + 6y = x + 6/-3y = – 1/3 x – 2m2 = -1/3Kemudian, cari hubungan antara m1 dan m2, sebagai berikut;m1 . m2 = 3 . -1/3 = -1Dengan demikian, kedua garis ini tegak Contoh Soal 6Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik -2, 5!Jawaban dan penyelesaian2x + 3y + 6 = 0, makaa = 2, b = 3, c = 6m1 = -a/b = -2/3Karena tegak lurus, makam2 = -1/m1 = 3/2Persamaan garis yang melalui titik -2, 5 adalah…y – y1 = m x – x1y – 5 = 3/2 [x – -2]y = 3/2 x + 3 + 5y = 3/2 x + 8 semua dikali 22y = 3x + 163x – 2y + 16 = 0Jadi, garis yang tegak lurus dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik -2,5 adalah 3x – 2y + 16 = Cara mencari titik koordinat untuk menggambar grafik diagram kartesiusAgar makin mudah memahami materi persamaan garis lurus, kak Hinda akan menggunakan soal nomor 6 di atas untuk menggambarkan contoh soal koordinat kartesius dalam bentuk diagram. Tapi sebelumnya, kita harus menentukan titik koordinatnya terlebih dulu. Berikut adalah cara mencari titik koordinat kartesiusPertama-tama, cari dulu koordinat x, 0, dan y,0Persamaan 1 2x + 3y + 6 = 0Untuk nilai y = 0, maka nilai x adalah2x + 0 + 6 = 02x = -6x = -3Untuk nilai x = 0, maka nilai y adalah0 + 3y + 6 = 03y = -6y = -2Kemudian ambil 2 titik lain sembarangMisal x = -1 dan x = 1 maka jika dimasukkan ke dalam persamaan ditemukan secara berturut-turut y = -4/3 dan y = -8/ kita mendapatkan 4 koordinat, yakni 0, -2, 1, -8/3, -1, -4/3, dan -3, 0. Hubungkan keempat titik dalam diagram 2x + 3y + 6 = 0xy0-21-8/3-1-4/3-30Lakukan hal serupa untuk persamaan kedua. Maka akan ditemukan 4 titik koordinat sebagai berikut0, 8, 1, 19/2, -1, 13/2, dan -16/3, 0Hubungkan keempat titik koordinat tersebut dalam diagram kartesius sehingga terbentuk sebuah garis 3x – 2y + 16 = 0xy08119/2-113/2-16/30Jadi, jika digambar dalam diagram kartesius hasilnyaCatatanDalam membuat diagram kartesius, langkah paling penting dan mudah adalah dengan mencari nilai titik koordinat kartesius x, 0 dan atau y, 0 terlebih dulu. Dengan langkah ini, maka akan jauh lebih mudah yang saya gambar di jika memang sudah tahu titik yang dilalui, maka gunakan titik ini untuk membuat informasi tentang gradien persamaan garis lurus, dua garis yang sejajar, tegak lurus, dan garis yang melalui satu titik. Juga, bagaimana cara identifikasi apakah dua garis saling sejajar atau tegak belajar.